Вправи: 1003

1003. Знайди довжину сторони правильного n–кутника, якщо радіус описаного кола R, радіус вписаного кола r.

∆AOM — прямокутний, OA = R; OM = r — дані відповідно гіпотенуза і катет. Знайдемо катет AM: AM² = R² – r², AM = R2-r2; AM = 12AB, AB = 2 • AM = 2R2-r2.

Отже, а = 2R2-r2.

1004 У рівнобічну трапецію з основами 8 см і 18 см вписано коло.

Знайди його радіус.

ABCD — рівнобічна трапеція.

AD = 18 см, BC = 8 см — основи. O — центр кола, вписаного в трапецію. Якщо в чотирикутник вписане коло, то суми протилежних сторін рівні, тобто: BC + AD = AB + CD.

Отже, AB + CD = 8 + 18 = 26 (см). Але AB = CD (трапеція рівнобічна). Тому: AB = CD = 26 : 2 = 13 (см). Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді BCMK —прямокутник, ∆ABK і ∆CMD — прямокутні трикутники, до того ж ∆ABK = ∆DCM (CD = BA за умовою; BK = CM). Отже, AK = MD. Так як BCMK — прямокутник, то KM = BC = 8 см.

AD = AK + KM + MD = 18 см, тоді AK + MD = 18 – KM = 18 – 8 = 10 см. AK = MD = 10 : 2 = 5 (см). ∆ABK — прямокутний.

AB = 13 (см) — гіпотенуза; AK = 5 (см) — катет.

За теоремою Піфагора: BK = 132-52 = 144 = 12 (см).

BK = 2r, тому r = BK : 2 = 12; r = 6 см.

Відповідь: r = 6 см.