Вправи: 1000

1000. Знайди радіус кола: а) вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною а; б) описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною а; в) описаного навколо квадрата зі стороною а.

а) ∆ABC — рівносторонній;

O — центр вписаного кола.

OM — радіус вписаного кола.

OM ⊥ BC. M — середина BC.

∆OMC — прямокутний. OM = r; MC = a2.

∠OCM = 30°; OС = 2OМ = 2r;

(2r)² – r² = (a2)² (теорема Піфагора).

3r² = a24. Звідси: r² = a24; r = a23.

б) ∆ABC — рівносторонній; OB = OC = R.

OK ⊥ BC. ∆OBK — прямокутний, в якому OB = R, BK = a2, ∠BOK =60° • (12∠BOC). ∠OBK = 30°.

За властивістю прямокутного трикутника з кутом 30° : OK = 12ОВ, тобто r = 12R або R = 2r = 2a23 = a3.

в) ABCD — квадрат, CD = а — сторона квадрата. ∆COD — прямокутний (CA ⊥ BD). OC = R.

За теоремою Піфагора: OC² + OD² = CD²,

R² + R² = а², 2R² = O². R² = a22.

Звідси, R = a2. або R = a22.