Вправи: 999

999. Навколо рівностороннього ∆ABC описано коло і середину K його дуги BC сполучено відрізками з В і С. Знайди кути чотирикутника ABKC.

∆ABC — рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

K — середина дуги BC.

У чотирикутнику ABKC ∠A = 60° (як кут рівностороннього трикутника). ∠ВАС і ∠BKC — вписані в коло, опираються на одну хорду BC, яка лежить по різні сторони від BC, тому ∠BKC = 180° – 60° = 120°. Так як K — середина дуги BC, то BK = KC. ∆BKC — рівнобедрений, тоді ∠KBC = ∠KCB = 12(180° – ∠ВКС) = 12(180° – 120°) = 30°.

∠ABK = ∠ABC + ∠KBC = 60° + 30° = 90°.

∠ACK = ∠ACB + ∠BCK = 60° + 30° = 90°.

Отже, у чотирикутнику АВКС: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠K = 120°, ∠C = 90°.