Вправи: 1005

1005. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить

більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайди сторони

трапеції і радіус кола.

ABCD — прямокутна трапеція. O — центр кола, вписаного в трапецію. M — точка дотику кола до сторони CD. CM = 2 см; MD = 8 см, тоді

CD = 10 см.

OM ⊥ CD; OK ⊥ BC, OZ ⊥ AD. M, К, Z — точки дотику кола до сторін CD, BC, AD.

OK = OM = OZ = r. ∆ОКС = ∆ОМС

(OC — спільна гіпотенуза, OK = OM як радіуси одного кола).

Звідси KC = MC = 2 см. Аналогічно ∆OMD = ∆OZD (OD — спільна

гіпотенуза, OM = OZ = r радіуси одного кола). Тоді ZD = MD = 8 см.

Проведемо CN ⊥ AD : KCNZ — прямокутник, тому ZN = KC = 2 см;

ND = ZD – ZN = 8 – 2 = 6 см. ACND — прямокутний. За теоремою Піфагора: CN = CD2- ND2 = 102- 62 = 100-36 = 64 = 8 (см).

CN = KZ = 2r; 2r = 8 см, тому r = 4 см. CN = AB = 8 см. P — точка дотику кола до сторони AB. Тому OP ⊥ AB; OP = KB = ZA = r = 4 см. BC = BK + KC = 4 + 2 = 6 (см). AD = AZ + ZD = 4 + 8 = 12 см. Отже, AB = 8 см; BC = 6 см; CD = 10 см; AD = 12 см; r = 4 см.