Вправи: 1007

1007. Знайди кути п’ятикутника АВКСР, вписаного в коло, якщо

AB = BC = CA, а точки K i P — середини дуг BC і CA.

ABKCP — даний п’ятикутник, вписаний в коло.

AC = CB = AB. K — середина дуги CB. P — середина дуги АС. Так як AB = BC = CA, то ∆ABC — рівносторонній, а тому ∠CAB = ∠CBA = ∠ACB = 60°. K — середина дуги CB, тобто дуги CK і KB рівні, а тому хорди CK і KB рівні. ∆CKB рівнобедрений. ∠CAB і ∠CKB вписані, спираються на одну хорду, але лежать по різні сторони від хорди CB, тому ∠CKB = 180° – ∠CAB = 180° – 60° = 120°. Так як ∆CKB рівнобедрений, то ∠KCB = ∠KBC = 12(180° – ∠СКВ) = 12(180° – 120°) = 30°.

Розглядаючи ∆РАС, аналогічно, доведемо, що ∠CPA = 120°; ∠PCA = ∠РАС = 30°. Тоді ∠A = ∠PAB = ∠РАС + ∠CAB = 30° + 60° = 90°. ∠B = ∠ABK = ∠АВС + ∠CBK = 60° + 30° = 90°; ∠C = ∠PCK = ∠PCA + ∠ACB + ∠BCK = 30° + 60° + 30° = 120°.

Отже, ∠A = 90°; ∠P = 120°; ∠C = 120°; ∠B = 90°.