Вправи: 1009

1009. Навколо рівностороннього ∆ABC зі стороною а описано коло і середини дуг AB, BC, AC послідовно сполучено з вершинами

трикутника. Доведи, що сторони і кути утвореного шестикутника рівні та знайдіть їх міри.

∆АВС — даний рівносторонній трикутник;

O — центр описаного кола, К, М, P — середини дуг відповідно ВС, CA. AB. За умовою AB = BC = CA, тому дуги AB, ВС, AC рівні між собою; К, М, P — середини дуг ВС, CA, AB, тому дуги BK, KC, CM, MA, AP і PB рівні між собою як половини рівних дуг. Таким чином, ВК = КС = СМ = МА = АР = РВ. Отже, сторони шестикутника BKCMAP рівні між собою.

OB = OK = OC = OM = OA = OP (як радіуси одного кола).

∆OBK = ∆OKC = ∆ОМА = ∆OAP = ∆OPB (за трьома сторонами), тому

∠OBK = ∠OKB = ∠OKC = ∠OCK = ∠OCM = ∠OMC = ∠OMA = ∠OAM = ∠OAP = ∠OPA = ∠OPB = ∠OBP = α.

Звідси: ∠B = 2α; ∠K = 2α; ∠C = 2α; ∠M = 2α; ∠A = 2α; ∠P = 2α. Отже, ∠B = ∠K = ∠C = ∠M = ∠A = ∠P = 180° •(6-2)6 = 120°.