Вправи: 720

720. На колі з центром O і радіусом R, у якому проведено два взаємно перпендикулярних діаметри AB і CD, взято точку К. Хорда

AK перетинає діаметр CD у точці М, а пряма BK — його продовження у точці N. Доведіть, що OM • ON = R².

∠АКВ = 90° (вписаний, спирається на діаметр), тоді ∠NKM = 90° (суміжний з ∠AKB). ∆АОМ ~ ∆NKM (прямокутні трикутники, у яких

∠AMO = ∠NMK — як вертикальні).

Звідси AONK = OMKM. (І)

∆BON ~ ∆ВКА (прямокутні, ∠B — спільний).

Звідси BOBK = ONKA. (II)

∆ВАК ~ ∆MKN (прямокутні, ∠BAK = ∠MNK).

Звідси BKMK = KAKN. (III)

З рівності (І): ОМ = AO •KMNK.

З рівності (IІ): ОN = BO •KABK.

З рівності (IIІ): BK • KN = MK • KA.

OM • ON = AO •KMNK • BO •KABK = AO • BO • KM x KANK x BK.

Оскільки BK • KN = MK • KA, то KM •KANK •BK = 1.

Отже, OM • ON = AO • OB • 1 = R • R = R².

Тобто OM • ON = R².