Вправи: 835

835. Знайдіть відношення основ трапеції, якщо її діагоналі ділять

середню лінію трапеції на три рівні частини.

Нехай дано АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, МN — середня лінія, АС і ВD — діагоналі, MK = KF = FN. Знайдемо BCAD.

Розглянемо ∆АВС, оскільки т. M — середина АВ, МК ∥ ВС, то т. К — середина АС (за теоремою Фалеса), тоді МК — середня лінія ∆АВС. МК = 12ВС. Якщо МК = КF = FN = x (см), то ВС = 2 • МК, ВС = 2х (см). Розглянемо ∆АСD, оскільки т. K — середина АС, т. N — середина СD, то КN — середня лінія ∆АСD.

КN = КF + FN, КN = х + х = 2х (см).

S – (ab8sin ∠A + 4ab8sin ∠A) = S – 5ab8sin∠A = S^\8 – 58S = 8S-5S8 = 3S8. АD = 2 • КN, АD = 2 • 2х = 4х (см). BCAD = 2x4x = 12.

Відповідь: BCAD = 12.