Вправи: 837

837. Бісектриса кута А паралелограма ABCD перетинає діагональ

BD і сторону BC у точках E i F відповідно, BE : ED = 2 : 7.

Знайдіть відношення BF : FC.

∠ВАF = ∠FАF = 12∠А (АF — бісектриса ∠А).

∠ВFА = ∠FАD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній АF).

∠ВАF = ∠FАD = ∠ВFА, тоді ∆АВF — рівнобедрений з основою АF, АВ = ВF.

Проведемо DК ∥ ЕF, ВЕ : ЕD = 2 : 7, тоді за теоремою Фалеса ВF : FК = 2 : 7.

ВF = 2х = АВ, FК = 7х. Розглянемо ∆АВF і ∆DСК.

1) АВ = DС (протилежні сторони паралелограма).

2) ∠ВАF = ∠СDК.

3) ∠АВF = ∠DСК. Отже, ∆АВF = ∆DСК за II ознакою рівності трикутників, тоді ВF = CK = 2x. FC = FK – CK, FC = 7x – 2x = 5x,

BFFC = 2x5x = 25.

Відповідь: BFFC = 25.