Вправи: 840

840. Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, становить

29 висоти, проведеної до основи трикутника. Знайдіть сторони

трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений, АВ = ВС, Р_∆АВС = 72 см, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, ВD – висота, r = 29 ВD.

Знайдемо АВ, ВС, АС. Оскільки висота ВD проведена до основи, то ВD є медіаною (АD = FС). Р_∆ABC = АВ + ВС + АС, P∆ABC3 = АВ + АD, 72 : 2 = АВ + АD, 36 = АВ + АD, ВD = ВО + ОD, ВD = ВО + 29 ВD, ВО = ВD – 29 ВD, ВО = 79 ВD. Центр вписаного кола точка перетину бісектрис, АО — бісектриса.

За властивістю бісектриси ∠А ∆АВС ABAD = BOOF = 79 BD 29BD = 72.

Нехай х (см) — одна частина, тоді АВ = 7х (см), АD = 2х (см).

7х + 2х = 36, 9х = 36, х = 4.

АВ = 7 • 4 = 28 (см), ВС = АВ = 28 (см), АD = 2 • 4 = 8 (см), АС = 2 • АD, АС = 2 • 8 = 16 (см).

Відповідь: АВ = ВС = 28 см, АС = 16 см.