Вправи: 833

833. Діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перпендикулярні, ∠ACB = 10°, ∠BDC = 70°. Знайдіть кути даного

чотирикутника.

Нехай дано коло (О; R), АВСD — вписаний у коло, АС і ВD — діагоналі, ВD ⊥ АС, ∠АСВ = 10°, ∠ВDС = 70°.

Знайдемо ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

∠ВСА = ∠ВDА = 10° як кути, вписані у коло і спираються на хорду

АВ. ∠D = ∠СDВ + ∠ВDА , ∠D = 70° + 10° = 80°. Розглянемо ∆СКD,

∠К = 90° (ВD ⊥ АС), ∠КСD + ∠КDС = 90°, ∠КСD = 90° – 70° = 20°, ∠С = ∠ВСА + ∠АСD, ∠С = 10° + 20° = 30°. Оскільки чотирикутник АВСD вписаний у коло, то ∠А + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.

∠А + 30° = ∠В + 80° = 180°, ∠А + 30° = 180°, ∠А = 180° – 30° = 150°, ∠В + 80° = 180°, ∠В = 180° – 80° = 100°.

Відповідь: ∠А = 150°, ∠В = 100°, ∠С = 30°, ∠D = 80°.