Вправи: 804

804. У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, точка M — середина

сторони AB. Знайдіть площу трикутника CMD, якщо площа даної трапеції дорівнює S.

Виконаємо додаткові побудови: через точку M проведемо пряму а, яка перетинає бічну сторону CD у точці N. Якщо M — середина АВ і MN ∥ ВС, MN ∥ AD. За теоремою про середню лінію трапеції маємо: MN — середня лінія трапеції і MN = 12(ВС + AD). Через точку M проведемо перпендикуляр РК до основ АВ і СD, РК ⊥ АВ, РК ⊥ СD.

Розглянемо ∆АРМ і ∆ВКМ — прямокутні, ∠APM = ∠BKM = 90°,

∠AMP = ∠BMK (вертикальні). За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АРM = ∆ВКМ.

За властивістю подібних фігур маємо: AMMB = MKMP.

За умовою M — середина АВ, отже, АМ = МВ, тому AMMB = 1.

Тому ∆МКВ = ∆МРА. Отже, МК = МР = 12КР (КР – висота трапеції АВСD). S_∆CMB = 12МК • ВС (МК — висота ∆СМВ); S_∆AMD = 12 МР • АD

(МР — висота ∆АМD).

S_∆CMB + S_∆AMD = 12MK • BC + 12MP • AD = 12 • 12KP • BC + 12 • 12KP • АD = 14KP • BC + 14KP • AD = 14KP(BC + AD) = BC+ AD2 • KP2 = MN• KP2 = 12S_ABCD = S2.

За властивістю площ фігур маємо: S_∆CMD = S_ABCD – (S_∆BMC + S_∆AMD),

отже, S_∆CMD = S^\2 – S2 = 2S- S2 = S2.

Відповідь: S_∆CMD = S2.