Вправи: 802

802. Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 12 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції.

S = a+ b2 • h, де а = ВС, b = АD, h = СЕ. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СЕ = СF + FЕ, СЕ = 12 + 15 = 27 (см).

За умовою ВС = СD. Отже, ∆ВСD — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠CBD = ∠СDВ. ВС ∥ АD, ВD — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠СВD = ∠ВDА (внутрішні різносторонні). Отже, ∠СDВ = ∠ВDА. Тоді ВD — бісектриса ∠СDА. Розглянемо ∆СЕD — прямокутний (∠Е = 90°).

За властивістю бісектриси трикутника маємо: CEFE = CDED; 1512 = CDED;

CDED = 54. Отже, нехай СD = 5х (см), ЕD = 4х (см). За теоремою Піфагора маємо: СD² = СЕ² + ЕD². Складемо і розв’яжемо рівняння:

(5x)² = 27² + (4х)²; (5х)² – (4х)² = 27²; (5х – 4х)(5х + 4х) = 27²;

x • 9х = 27², 9х² = 27²; (Зх)² = 27²; Зх = 27; x = 27 : 3; x = 9. Отже, СD = 5 • 9 = 45 (см), ВС = СD = 45 см. ED = 4 • 9 = 36 (см).

За властивістю рівнобічної трапеції маємо:

ED = 12 (АD – ВС); 36 = 12 (AD – 45); AD – 45 = 36 • 2; AD – 45 = 72;

AD = 72 + 45 = 117 (см). S = 45+1172 • 27 = 1622 • 27 = 81 • 27 = 2187 (см²).

Відповідь: S = 2187 cм².