Вправи: 799

799. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута й перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює а.

За умовою АС ⊥ СD, отже, ∠АСD = 90°. За умовою діагональ АС є бісектрисою гострого кута А. За означенням бісектриси кута маємо: ∠DАС = ∠САВ = 12∠DАВ. Нехай ∠DАС = х, тоді ∠САВ = х, ∠DАВ = 2х. ВС ∥ АD, АС — січна.

За ознакою паралельності прямих маємо:

∠ВСА = ∠САD (внутрішні різносторонні). Отже, ∠ВСА = х. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠ВСD = ∠ВСА + ∠АСD, ∠ВСD = х + 90. За властивістю кутів рівнобічної трапеції маємо: ∠В = ∠ВСD = х + 90° та ∠DАВ + ∠В = 180°. Складемо і розв’яжемо рівняння:

2х + х + 90 = 180; Зх + 90 = 180; Зх = 180 – 90; Зх = 90;

х = 90 : 3; х = 30. Отже, ∠САD = 30°. ∆АВС — рівнобедрений, ∠САВ = ∠АСВ. Отже, АВ = ВС = а, АВ = СD = а.

Розглянемо ∆АСD — прямокутний (∠С = 90°). Якщо ∠САD = 30°, тоді

за властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: АD = 2СD, АD = 2а. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо ∠D + ∠САD = 90°, ∠D = 90° – 30° = 60°.

Розглянемо ∆СРD — прямокутний (∠Р = 90°). За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника маємо:

sin∠D = CPCD; CPa = sin60°; CPa = 32; CP = a32.

S = AD+BC2 • CP; S = a+2a2 • a32 = 3a • a34 = 33a24.

Відповідь: S = 33a24.