Вправи: 797

797. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної

сторони, яка дорівнює 15 см. Знайдіть площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї, дорівнює 12,5 см.

Виконаємо додаткову побудову: висоту СР (СР ⊥ АD). За умовою навколо трапеції АВСD описане коло, тобто це ж коло описане

навколо прямокутного трикутника АСD (∠С = 90°). За умовою АС ⊥ СD. Як відомо, центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, знаходиться на середині гіпотенузи АD (АО = ОD = R). Отже, АD = 2R, АD = 12,5 • 2 = 25 (см). За метричними

співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо:

СD² = АD • РD, СР² = АР • РD, 15² = 25 • РD, 225 = 25 • РD, РD = 225 : 25 = 9 (см).

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

АР = АD – РD, АР = 25 – 9 = 16 (см), СР² = 16 • 9; СР = 16 •9 = 4 • 3 = 12 (см).

S_ABCD = BC+AD2 • CP; BC+AD2 = AP (за властивістю рівнобічної трапеції).

Отже, AP = BC+AD2 = 16 (см). S – 16 • 12 = 192 (см²).

Відповідь: S = 192 см².