Вправи: 798

798. Діагоналі трапеції перпендикулярні, одна з них дорівнює 48 см,

а середня лінія трапеції — 25 см. Знайдіть площу трапеції.

Виконаємо додаткову побудову: з вершини С опустимо висоту СР (СР ⊥ АD) і через вершину С проведемо пряму СЕ (СЕ ∥ ВD), Е ∈ АD. ВС ∥ DЕ, ВD ∥ СЕ. Отже, ВСЕD — паралелограм. За властивістю протилежних сторін паралелограма маємо: ВС = DЕ, ВD = СЕ.

АС ⊥ ВD і ВD ∥ СЕ, тобто АС ⊥ СЕ. СР — висота, опущена з вершини прямого кута С. МN — середня

лінія трапеції. За теоремою про середню лінію

трапеції маємо: BC+AD2 = МN; ВС + АD = 2МN;

DЕ = ВС, отже, АD + DЕ = 2 • 25 = 50 см.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

АD + DЕ = АЕ = 50 см. Розглянемо ∆АСЕ — прямокутний (∠С = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АЕ² = АС² + СЕ²; СЕ² = АЕ² – АС²; СЕ² = 50² – 48² = (50 – 48) • (50 + 48) = 2 • 98;

СЕ = 2 •98 = 2 •49 •2 = 7 • 2 = 14 (см).

S_ABCD = 12АС • ВD; S = 12 • 14 • 48 = 336 (см²).

Відповідь: S = 336 см².