Вправи: 801

801. У прямокутну трапецію вписано коло радіуса 12 см. Більша з бічних сторін точкою дотику ділиться на два відрізки, більший з яких дорівнює 16 см. Знайдіть площу трапеції.

За умовою АВСD — прямокутна трапеція. За властивістю кола, вписаного у прямокутну трапецію, маємо: АВ = 2R – 24 см.

ЕОРА — квадрат. ОР ⊥ АD, ОЕ ⊥ АВ, АВ ⊥ АD.

OE = ОР = R = 12 см. Отже, АР = 12 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: ND = РD = 16 см, FС = СN. Нехай СN = x см, тоді СР = х см. Виконаємо додаткову побудову: висоту СК (СК ⊥ АD). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СD = СN + ND, СD = x + 16 (см), КD = АD – АК, АК = ВС = 12 + х (см), АD = АР + РD, АD = 12 + 16 = 28 (см).

КD = 28 – (12 + х) = 28 – 12 – x = 16 – x (см).

Розглянемо ∆СКD — прямокутний (∠К = 90°). За теоремою Піфагора

маємо: СD² = СК² + КD². Складемо і розв’яжемо рівняння:

(х + 16)² = 24² + (16 – х)²; х² + 32x + 256 = 576 + 256 – 32x + х²;

x² + 32х + 256 – 576 – 256 + 32х – x² = 0; 64x = 576; x = 576 : 64;

x = 9.

Отже, АD = 28 см, ВС = 12 + 9 = 21 см, АВ = 24 см. S = a+ b2 • h, де а = ВС = 21 см, b = AD = 28 см, АВ = h = 24 см.

S = 21+282 • 24 = 49 • 12 = 588 (см²).

Відповідь: S = 588 см².