Вправи: 803

803. Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 9 см. Більша бічна сторона трапеції дорівнює n меншій основі. Знайдіть площу трапеції.

За умовою CD = BC. Отже, ∆BCD — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠CBD = ∠CDB. ВС ∥ AD, BD — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠CBD = ∠BDA (внутрішні різносторонні). Отже, ∠CDB = ∠BDA, тому BD — бісектриса ∠ADC. Розглянемо ∆CND — прямокутний (∠N = 90°).

За властивістю бісектриси кута трикутника маємо:

CPPN = CDND; CDND = 159; CDND = 53. Нехай CD = 5х (см), AD = 3х (см).

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СN = СР + PN,

СN = 15 + 9 = 24 (см). За теоремою Піфагора маємо: СD² = СN² + CD²; (5x)² = (Зх)² + 24²; 25х² = 9х² + 24²; 25х² – 9x² = 24²;

16х² = 24²; (4x)² = 24²; 4х = 24; х = 24 : 4; х = 6.

Отже, СD = 5 • 6 = 30 (см), ND = 3 • 6 = 18 (см).

За умовою ВС = CD = 30 см. АВСN — прямокутник. ВС = АN = 30 см.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

АD = АN + ND, АD = 30 + 18 = 48 (см).

S = a+ b2 • h, де а = ВС = 30 см, b = АD = 48 см, h = СN = 24 см.

S = 30+482 • 24 = 78 • 12 = 936 (см²).

Відповідь: S = 936 см².