Вправи: 806

806. Коло, побудоване на діагоналі AC ромба ABCD як на діаметрі,

проходить через середину сторони AB. Знайдіть кути ромба.

За умовою АВСD — ромб. За властивістю діагоналей ромба маємо: АС ⊥ ВD. Отже, ∆АОВ — прямокутний (∠AОВ = 90°). За умовою N — середина АВ, отже, ОМ — медіана ∆АОВ, проведена до гіпотенузи. За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи у прямокутному трикутнику, маємо: ON = 12AB = AN. Розглянемо ∆АОN — рівносторонній (АО = ОN = R — радіуси, ОN = АN = 12AВ).

Отже, ∠ОАN = 60°. Розглянемо ∆АВО — прямокутний (∠АОВ = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠ОАВ + ∠АВО = 90°, ∠АВО = 90° – 60° = 30°. Отже, за властивістю діагоналей ромба маємо: ∠DАВ = 2∠ОАВ = 2 • 60° = 120°, ∠АВС = 2∠АВО = 2 • 30° = 60°.

За властивістю протилежних кутів ромба маємо:

∠А = ∠С = 120°, ∠В = ∠D = 60°.

Відповідь: 120°, 60°.