Вправи: 787

787. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 203 см і утворює

з основою кута 60°. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

S = a+b2 • h, де а = ВС, b = АD, h – висота. Виконаємо додаткову побудову: висоту ВN (ВN ⊥ АD). За властивістю кутів рівнобічної

трапеції маємо: ∠А = ∠D = 60°. Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°). ∠D = 60°.

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠А + ∠АВN = 90°, ∠АВN = 90° – 60° = 30°.

За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо:

АN = 12АВ; АN = 203 : 2 = 103 (см).

За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + NВ²;

ВN² =АВ² – АN²; ВN² = (203)² – (103)² = 400 • 3 – 100 • 3 = 3 • (400 – 100) = 3 • 300 = 900; ВN = 900 = 30 (см). За умовою у трапецію можна вписати коло, тому АВ + СD = ВС + АD;

АВ + СD = 203 + 203 = 403 (см). ВС + АD = 403 (см);

S = 4032 • 30 = 6003 (см²).

Відповідь: S = 6003 см².