Вправи: 786

786. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 9 см і 17 см, а діагональ є бісектрисою її тупого кута. Обчисліть площу трапеції.

S = a+b2 • h, де а = ВС = 9 см, b = AD = 17 см, h = АВ. За умовою АС — бісектриса ∠ВСD.

За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВСА = ∠DСА. ВС ∥ АD, АС — січна. За теоремою (ознакою) паралельності прямих маємо: ∠ВСА = ∠САD (внутрішні різноcторонні). Отже, ∆АDС — рівнобедрений (∠DСА = ∠DАС), СD = АD = 17 см.

Виконаємо додаткову побудову: висоту СN (СN ⊥ АD). АВСN — прямокутник, АВ = СN, ВС = АN = 9 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ND = АD – DN, ND = 17 – 9 = 8 (см). Розглянемо ∆СND — прямокутний (∠N= 90°). За теоремою Піфагора маємо:

СD² = СN² + ND²; СN² = СD² – ND²;

CN² = 17² – 8² = (17 – 8) • (17 + 8) = 9 • 25;

СN = 9 •25 = 3 • 5 = 15 (см).

S = 17+92 • 15 = 262 • 15 = 195 (см²).

Відповідь: S = 195 см².