Вправи: 785

785. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки завдовжки 6 см і 12 см. Знайдіть площу трапеції.

S = a+b2 • h, де а = ВС, b = AD, h — висота.

Додаткову побудову: висоту СЕ (СЕ ⊥ AD). За умовою МК — середня лінія трапеції, тоді МР — середня лінія ∆BAC і РК — середня лінія

∆ACD. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ВС = 2МР і АD = 2РК, отже, ВС = 2 • 6 = 12 (см), АD = 2 • 12 = 24 (см).

АЕ = МК. За аксіомою вимірювання відрізків маємо МК = МР + РК, ED = AD – АЕ, МК = АЕ = 6 + 12 = 18 (см). ED = 24 – 18 = 6 (см). За умовою АС — бісектриса ∠BAD. Отже, ∠ВАС = ∠CAD. ВС ∥ AD, АС — січна.

За ознакою паралельності прямих маємо: ∠DСА = ∠CAD (внутрішні

різноcторонні). Отже, маємо ∆АВС — рівнобедрений (∠ВАС = ∠ВСА),

ВС = АВ = CD = 12 см. Розглянемо ∆CED — прямокутний (∠Е = 90°).

За теоремою Піфагора маємо: CD² = СЕ² + ED², CE² = CD² – ED², СЕ² = 12² – 6² = (12 – 6) • (12 + 6) = 6 • 18; СЕ = 6 •18 = 6 •6•3 = 63 (см). S = 12+242 • 63 = 36 • З3 – 1083 (см²).

Відповідь: S = 1083 см².