Вправи: 762

762. У прямокутному трикутнику ABC до гіпотенугзи AB проведено

висоту CM. Площа трикутника ACM дорівнює 6 см², а площа

трикутника BCM — 54 см². Знайдіть сторони трикутника ABC.

S_∆AСM = 12CM • AM = 6 см², S_∆BCM = 12CM • MB = 54 см². S∆ACMS∆BCM = 12CM •AM12CM •MB = 654 = 19.

Нехай х (см) — одна частина, тоді АМ = х (см), МВ = 9х (см). За властивістю висоти СМ в прямокутному трикутнику СМ² = АМ • МВ.

СМ² = х • 9х (x); СМ² = 9х².

S_∆ABC = S_∆AMC + S_∆AСM = 6 + 54 = 60 см²;

S_∆ABC = 12CM • AB; AB = АМ + МВ; АВ = х + 9х = 10х (см).

12CM • 10x = 60; CM = 12010x = 12x.

Підставимо у рівність (12x)² = 9x²; 144x2 = 9x²;

9х⁴ = 144; х⁴ = 1449 = 16; х = 2. АВ = 2 • 10 = 20 (см), АМ = 2 см, МВ = 2 • 9 = 18 см, СМ = 122 = 6 см.

Із ∆АМС, ∠М = 90° за теоремою Піфагора АС² = АМ² + МС²;

АС² = 2² + 6²; АС² = 4 + 36; АС² = 40; АС = 40 = 210 см.

Із ∆АВС, ∠С = 90° за теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС²;

СВ² = АВ² – AC²; СВ² = 20² – 40; СВ² = 400 – 40; СВ² = 360;

СВ = 360 = 610 см.

Відповідь: СВ = 610 см, АС = 210 см, АВ = 20 см.