Вправи: 761

761. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки, один з яких на 14 см більший за другий. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 4 см.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, М, N, Р — точки дотику, АР > РВ на 14 см, r = 4 см. Знайдемо S_∆ABC.

Нехай РВ = х (см), тоді АР = х + 14 (см).

АР = АМ = х + 14 (см), ВР = ВN = х (см) та СN = СМ = r = 4 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.

а = АС = АМ + МС = х + 14 + 4 = x + 18 (см);

b = СВ = СN + NВ = 4 + х (см);

с = АВ = АР + РВ = х + 14 + х = 2х + 14 (см).

За теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ².

(2х + 14)² = (х + 18)² + (4 + х)²;

4х² + 56х + 196 = х² + 36х + 324 + 16 + 8х + х²;

4х² + 56х + 196 – х² – 36х – 324 – 16 – 8х – х² = 0;

2х² + 12х – 144 = 0; х² + 6х – 72 = 0; х₁ = 6; х₂ = –12 — не задовольняє умові (х > 0). АС = 6 + 18 = 24 см, СВ = 4 + 6 = 10 см.

S_∆ABC = 12AC • CB, S_∆ABC = 12 • 24 • 10 = 120 cм².

Відповідь: S_∆ABC = 120 cм².