Вправи: 744

744. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 54 см, а висота, проведена до основи, — 9 см.

Нехай дано рівнобедрений ∆АВС, АВ = ВС, ВК — висота, ВК = 9 см, Р_∆ABC = 54 см. Знайдемо S_∆ABC. Оскільки висота проведена до основи рівнобедреного ∆АВС, то ВК – медіана.

АК = КС = 12АС. Р_∆ABC = АВ + ВС + АС = 2АВ + 2АК; 54 : 2 = АВ + АК; 27 = АВ + АК.

Нехай АК = х (см), тоді АВ = 27 – х (см).

Розглянемо ∆АВК, ∠К – 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АК² + ВК²;

(27 – х)² = х² + 9²; 729 – 54х + х² = х² + 81; –54х = 81 – 729;

–54х = –648; х = 648 : 54; х = 12. АК = 12 см, АС = 2 • АК,

АС = 2 • 12 = 24 см.

S_∆ABC = 12ВК • АС, S_∆ABC = 12 • 9 • 24 = 9 • 12 = 108 см².

Відповідь: S_∆ABC = 108 см².