Вправи: 743

743. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник,

ділить його гіпотенузу на відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай дано ∆АВС, ∠C = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, т. М, К, N — точки дотику, АК = 12 см, КВ = 8 см. Знайдемо S_∆ABC.

АК = АМ = 12 см, ВК = ВМ = 8 см та СМ = СN як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.

Нехай СМ = СN = x (см), тоді АС = АМ + МС;

АС = 12 + х; ВС = ВN + NС; ВС = 8 + x;

АВ = АК + КВ; АВ = 12 + 8 = 20 см.

З ∆АВС, ∠C = 90° за теоремою Піфагора

АВ² = АС² + СВ². 20² = (12 + х)² + (8 + x)²;

400 = 144 + 24x + х² + 64 + 16x + х²;

2х² + 40x + 144 + 64 – 400 = 0;

x² + 20x + 72 + 32 – 200 = 0; x² + 20x – 96 = 0; D = b² – 4ас;

D = 20² – 4 • 1 • (–96) = 400 + 384 = 784;

x₁ = -20+282 = 4; x₂ = -20-282 = –482 = –24 – не задовольняє умові.

СМ = СN = 4 см. АС = 12 + 4 = 16 см, СВ = 8 + 4 = 12 см.

S_∆ABC = 12АС • СВ, S_∆ABC = 12 • 16 •12 = 96 см².

Відповідь: S_∆ABC = 96 см².