Вправи: 746

746. Доведіть, що площа опуклого чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні, дорівнює половині їхнього добутку.

Нехай АВСD — опуклий чотирикутник, АС і ВD – діагоналі, АС ⊥ ВD. Доведемо, що S_ABCD = 12ВD • АС. Діагональ ВD ділить чотирикутник АВСD на два трикутника: ∆ВСD і ∆ВАD.

S_ABCD = S_∆BCD + S_∆BAD.

Оскільки СА ⊥ ВD, то СО – висота ∆BCD, АО — висота ∆ВАD.

S_∆BCD = 12CO • BD, S_∆BAD = 12AO • BD,

S_ABCD = 12CO • BD + 12AO • BD = BD(CO + AO) = 12BD • AC.