Вправи: 748

748. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 25 см, а сума

діагоналей — 62 см.

Нехай дано ромб АВСD, АВ = ВС = СD = DА = 25 см, АС і ВD — діагоналі, АС + ВD = 62 см. Знайдемо S_ABCD.

Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл, АО = ОС = 12АС; ВО = ОD = 12ВD.

12АС + 12ВD = 12(АС + ВD) = 62 : 2 = 31 см.

АО + ВО = 31 см. Нехай АО = x см, ВО = 31 – x (см).

Розглянемо ∆АОВ — прямокутний (АС ⊥ ВD), за теоремою Піфагора

АВ₂ = АО₂ + ОВ₂; 25₂ = x2 + (31 – x)2; 625 = x² + 961 – 62x + х²;

2x² – 62x + 336 = 0; х² – 31x + 168 = 0; х₁ = 24; х₂ = 7.

Якщо x = 24 см, то АО = 24 см і ВО = 31 – 24 = 7 см.

Якщо x = 7 см, то АО = 7 см і ВО = 31 – 7 = 24 см.

Отже, діагоналі ромба 7 • 2 = 14 см і 24 • 2 = 48 см.

S_ABCD = 12d₁d₂; S_ABCD = 12 • 14 • 48 = 336 см².

Відповідь: S_ABCD = 336 см².