Вправи: 747

747. Площа ромба дорівнює 120 см², а його діагоналі відносяться як 5 : 12. Знайдіть периметр ромба.

Нехай АВСD — ромб, S_ABCD = 120 см², АС і ВD — діагоналі, АС : ВD = 5 : 12. Знайдемо P_ABCD.

Нехай х (см) — одна частина, тоді АС = 5х (см), ВD = 12х (см). S_ABCD = 12АС • ВD (оскільки діагоналі ромба перетинаються під кутом 90°).

120 = 12 • 5х • 12х; 120 = 30x²; x² = 4; х = 2.

АС = 5 • 2 = 10 (см), ВD = 12 • 2 = 24 (см). Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл.

АО = ОС = 12АС = 10 : 2 = 5 (см), ВО = ОD = 12ВD = 24 : 2 = 12 (см).

Розглянемо ∆АВО, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АО² + ВО²; АВ² = 5² + 12²; АВ² = 25 + 144; АВ² = 169; АВ = 13 см.

P_ABCD = 4 • АВ (так як всі сторони ромба рівні),

P_ABCD = 4 • 13 = 52 (см).

Відповідь: P_ABCD = 52 см.