Вправи: 720

720. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см,

AM — бісектриса. Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кутів ВАС і AMC.

Розглянемо ∆АСВ — прямокутний (∠С = 90°). За теоремою Піфагора маємо:

АВ² = АС² + СВ², АВ² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, АВ = 25 см.

За умовою АМ — бісектриса. За властивістю бісектриси кута маємо: ACAB = CMMB.

Нехай СМ = х см, тоді за аксіомою вимірювання відрізків маємо:

МВ = СВ – СМ, МВ = 24 – x (см). Складемо і розв’яжемо рівняння:

725 = x24- x; 7(24 – х) = 25х; 7 • 24 – 7х = 25х; 7 • 24 = 7х + 25х;

32х = 7 • 24; х = 7•2432 = 214. Отже, СМ = 214 (см). Розглянемо ∆ACM

прямокутний (∠С = 90°). За означенням тригонометричних функцій гострого кута маємо: Аналогічно з прямокутного трикутника ABC маємо:

sin∠BAC = CBAB; sin∠AMC = ACAM; cos∠BAC = ACAB; cos∠AMC = CMAM;

tg∠BAC = CBAB; tg∠AMC = ACCM; ctg∠BAC = ACCB; ctg∠AMC = CMAC;

sin∠BAC = 2425; sin∠AMC = 71 : 354; cos∠BAC = 725; cos∠AMC = 214 : 354; tg∠BAC = 247 = 337; tg∠AMC = 74 : 214 = 7•421 = 43 = 113;

ctg∠BAC = 724; ctg∠AMC = 214 : 7 = 214•7 = 34.

Розглянемо ∆ACM — прямокутний (∠C = 90°).

За теоремою Піфагора маємо: AM² = АС² + СМ²;

АМ² = 7² + (214)² = 49^\16 + 44116 = 784+44116 = 122516; AM = 354 (см).

sin∠BAC = 2425; sin∠AMC = 71 : 354 = 7•41•35 = 45; cos∠BAC = 725;

cos∠AMC = 21•44•35 = 35; tg∠BAC = 247 = 337; tg∠AMC = 43 = 113;

ctg∠BAC = 724; ctg∠AMC = 34.

Відповідь: sin∠BAC = 2425; cos∠BAC = 725; tg∠BAC = 337; ctg∠BAC = 724; sin∠AMC = 45; cos∠AMC = 35; tg∠AMC = 113; ctg∠AMC = 34.