Вправи: 630

630. Гострий кут ромба дорівнює α, радіус вписаного кола — r.

Знайдіть сторону та діагоналі ромба.

Нехай дано ромб ABCD, ∠B = α, коло (О; r) – коло вписане у ромб, BD i AC – діагоналі, АС ∩ BD = т. О. Знайдемо АВ, АС, BD.

Нехай M, N, K, P – точки дотику кола із сторонами ромба. Проведемо радіуси ОК і ОМ, ОК ⊥ ВС, ОМ ⊥ OD, тоді МК – спільний перпендикуляр до ВС і AD, отже, МК – висота ромба.

MK = OK + OM, MK = r + r = 2r.

Проведемо висоту AF, AF = MK = 2r.

Розглянемо ∆ABF, ∠F = 90°. sin ∠B = AFAB; sinα = 2rAB; AB = 2rsinα.

Розглянемо ∆АВО, ∠О = 90°. ∠АВО = 12∠В = α2; sin ∠ABO = AOBO;

sinα2 = AO2rsinα; AO = 2rsinα • sinα2 = 2r sinα2sinα; AC = 2 • AO;

AC = 2 • 2rsinα2sinα = 4rsinα2sinα; cos∠ABO = BOAB; cosα2 = BO2rsinα;

BO = 2rsinα • cosα2 = 2rcosα2sinα; BD = 2 • BO; BD = 2 • 2rcosα2sinα = 4rcosα2sinα.

Відповідь: АВ = 2rsinα; AC = 4rsinα2sinα; BD = 4rcosα2sinα.