Вправи: 631

631. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної

сторони та утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть висоту

трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює R.

Нехай дано трапецію ABCD, ВС ∥ AD, AB ∦ CD, AB = CD, BD — діагональ, BD ⊥ AB, ∠BDA = 30°, BK — висота, коло (О; r) — коло, описане навколо трапеції. Знайдемо ВК. Оскільки коло описане навколо трапеції ABCD, то воно описане д навколо ∆ABD. Так як ∆ABD — прямокутний, то AD — діаметр кола, т. О — середина AD. AD = R + R = 2R. АВ — катет, що лежить напроти кута 30°, то AB = 12AD; AB = 12 • 2R = R;

cos∠BDA = BDAD; cos30° = BD2R; 32 = BD2R; BD = 2R32 = R3.

Розглянемо ∆BKD, ∠K = 90°. Катет BK, що лежить напроти кута 30°, і BK = 12BD; BK = 12 • R3 = 32R.

Відповідь: BK = 32R.