Вправи: 633

633. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см, а кути при більшій

основі — 30° і 60°. Знайдіть висоту та діагоналі трапеції.

Нехай АВСD – дана трапеція, BC ∥ AD, АВ ∦ СD, ВС = 7 см, АD = 15 см, ∠BAD = 60°, ∠СВА = 30°, ВК — висота, ВD і АС — діагоналі. Знайдемо ВК, ВD, АС.

Проведемо висоту СМ. ВСМК — прямокутник, тоді ВС = КМ = 7 см.

АК + KM + MD – AD, АК + 7 + MD = 15, АК + MD – 15 – 7 – 8 см.

Нехай АК = х (см), тоді MD = 8 – х (см).

Розглянемо ∆АВК, ∠K = 90°. tg ∠A = BKAK; tg60° = BKx; 3 = BKx;

ВК = 3х. Розглянемо ∆СМD, ∠M = 90°.

tg∠D = CMMD; tg30° = CM8-x; 13 = CM8-x; CM = 8-x3.

Оскільки BK і CM — висоти, то BK = CM.

3x = 8-x3; Зх = 8 – х; 4х = 8; х = 2. ВК = 23 см.

Розглянемо ∆АСМ, ∠М = 90°. АМ = х + 7, АМ = 2 + 7 = 9 см.

За теоремою Піфагора АС² =АМ² + МС²; АС² = 9² + (23)²;

АС² = 81 + 12; АС² = 93; АС = 93 см.

Розглянемо ∆ВКD, ∠К – 90°. КD = 7 + 8 – х = 15 – х, КD = 15 – 2 = 13 см.

За теоремою Піфагора ВD² = ВК² + КD²; ВD² = (23)² + 13²;

ВD² = 12 + 169; ВD² = 181; ВD = 181 см.

Відповідь: ВК = 23 см, АС = 93 см, ВD = 181 см.