Вправи: 628

628. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює а. Кут між другим катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута, дорівнює φ. Знайдіть невідомі сторони трикутника та проведену висоту.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, СВ = а, СК – висота, ∠АСК = φ. Знайдемо АС, АВ, СК.

Розглянемо ∆АКС, ∠К = 90°, ∠А + ∠АСК = 90°,

∠А = 90° – ∠АСК, ∠А = 90° – φ. Розглянемо ∆АВС, ∠С = 90°.

tg∠A = BCAC; tg(90° – φ) = aAC; ctgφ = aAC; AC = actgφ; sin∠A = CBAB; sin(90° – φ) = aAB;

cosφ = aAB; AB = acosφ.

Розглянемо ∆АСК, ∠К = 90°. cos∠ACK = CKAC; cosφ = CKactgφ;

CK = actgφ • cosφ = acosφsinφ • cosφ = a sinφcosφ • cosφ = asinφ.

Відповідь: АС = actgφ; АВ = acosφ; СК = аsinφ.