Вправи: 621

621. Сторона ромба дорівнює а, а один із його кутів — 60°. Знайдіть діагоналі ромба.

Нехай дано ромб АВСD, АВ = ВС = СD = DА = а, ∠АВС = 60°, ВD і АС — діагоналі. Знайдемо ВD і АС. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тоді ∠ABD = ∠DBC = 12∠АВС = 60° : 2 = 30°.

Розглянемо ∆АВО, ∠О = 90° (АС ⊥ BD як діагоналі ромба). Катет АО лежить напроти кута 30°, тоді AO = 12AB; AO = a2; cos∠ABO = BOAB; cos30° = BOa;

32 = BOa; BO = a32. За властивістю діагоналей ромба АО = ОС = 12АС. АС = 2АО; АС = 2 • a2 = a; BO = OD = 12BD; BD = 2 • BO;

BD = 2 • a32 = a3.

Відповідь: АС = а, BD = a3.