Вправи: 52

52. Один із кутів паралелограма дорівнює 45°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 3 см і ділить сторону паралелограма навпіл. Знайдіть цю сторону паралелограма та кути, які утворює діагональ, що сполучає вершини кутів, зі сторонами паралелограма.

Нехай АВСD — паралелограм, ∠А = 45°. ВК — висота, АК = КD, ВК = 3 см, ВD — діагональ. Знайдемо АD і ∠ВDА, ∠ВDС.

Розглянемо ∆АВК: ∠К = 90°, ∠А = 45°, тоді ∠АВК = 180° – 90° – 45° = 45°. Отже, ∆АВК — рівнобедрений, ВК = АК = 3 см.

АD = 2 • АК, АD = 2 • 3 = 6 см.

Розглянемо ∆АВD — рівнобедрений (так як висота ВК є медіаною), тоді ∠А = ∠ВDА = 45°. ВК — бісектриса ∠АВD.

∠АВD = 2 • ∠АВК, ∠АВD = 2 • 45° = 90°. ∠АВD = ∠ВDС = 90° (як внутрішні різносторонні при АВ ∥ DС та січній ВD).

Відповідь: АD = 6 см, ∠ВDА = 45°, ∠ВDС = 90°.