Вправи: 466

466. Доведіть, що в подібних трикутниках висоти, проведені з вершин відповідних кутів, відносяться як відповідні сторони.

За умовою ∆АВС ~ ∆А₁B₁С₁. За властивістю подібних фігур маємо: ∠А = ∠A₁, ∠В = ∠B₁, ∠С = ∠C₁. За умовою ВN і В₁N₁ — висоти (ВN ⊥ АС, В₁N₁ ⊥ А₁С₁). ∠ANB = ∠BNC = 90°, ∠A₁N₁B₁ = ∠C₁N₁B₁ = 90°. ∆ANB ~ ∆А₁N₁В₁ (∠А = ∠A₁, ∠АNВ = ∠A₁N₁B₁); ∆ВNС ~ ∆В₁N₁С₁ (∠С = ∠С₁, ∠ВNC = ∠В₁N₁С₁) за І ознакою подібності трикутників. За означенням подібних фігур маємо: ABA1B1 = BNB1N1; BNB1N1 = BCB1C1. Отже, ABA1B1 = BCB1C1 = BNB1N1. Доведено.