Вправи: 465

465. Доведіть, що в подібних трикутниках бісектриси, проведені з вершин відповідних кутів, відносяться як відповідні сторони.

За умовою ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁.

За властивостями подібних фігур маємо: ∠А = ∠А₁, ∠В = ∠В₁, ∠С = ∠C₁. За умовою AN — бісектриса ∠ВАС. За означенням бісектриси кута маємо: ∠BAN = ∠CAN = 12 ∠ВАС. Аналогічно, якщо A₁N₁ – бісектриса ∠B₁A₁C₁, тоді ∠B₁A₁N₁ = ∠C₁A₁N₁ = 12 ∠B₁A₁C₁. Якщо ∠ВАС = ∠В₁А₁С₁, тоді ∠BAN = ∠NAC = ∠B₁A₁N₁ = ∠N₁A₁C₁. Отже, маємо що ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁ (∠B = ∠B₁, ∠BAN = ∠B₁A₁N₁). ∆NAC ~ ∆N₁A₁C₁ (∠C = ∠C₁, ∠NAC = ∠N₁A₁С₁) за І ознакою подібності трикутників. За означенням подібних фігур маємо: АВA1B1 = ANA1N1; ANA1N1 = ACA1C1. Отже, ABA1B1 = ACA1C1 = ANA1N1. Доведено.