Вправи: 436

436. Точки M i K — середини сторін CD і AD квадрата ABCD відповідно. Користуючись означенням подібних трикутників, доведіть, що ∆MDK ~ ∆BCD.

Нехай дано квадрат АВСD, т. M — середина СD.

т. К — середина АD. Доведемо, що ∆МDК ~ ∆ВСD.

Розглянемо ∆МDK: DK = DМ = 12 АD, МК – середня лінія ∆АСD, МK = 12 АС. ∠D = 90°, ∠KМD = ∠МКD = 45° (∆МКD — прямокутний, рівнобедреннй).

Розглянемо ∆ВСD: ВС = СD = АD, ∠С = 90°, ∠СВD = ∠BDC = 45° (властивість діагоналей квадрата). Таким чином, ∠C = ∠D = 90°, ∠СВD = ∠ВDС = ∠KMD = ∠MKD = 45°, DKBC = DMDC = KMBD = 12. Оскільки в даних трикутниках відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні, то ∆МВК ~ ∆ВСD.