Вправи: 266

266. Діагональ рівнобічної трапеції розбиває її на два рівнобедрених трикутники. Знайдіть кути трапеції.

Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, АС — діагональ, ∆АВС і ∆АСD — рівнобедрені. Знайдемо ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

Оскільки ∆АВС — рівнобедрений з основою АС, тоді ∠ВАС = ∠ВСА = х.

Оскільки ∆САD — рівнобедрений з основою СD, тоді ∠DСА = ∠АDС = y.

∠ВСА = ∠САD = x як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD і січній АС. ∠А = ∠ВАС + ∠САD = х + х = 2х.

∠А = ∠D = 2х = у (як кути при основі рівнобедреної трапеції).

Розглянемо ∆АСD. ∠АСD + ∠СDА + ∠САD = 180°, х + y + х = 180,

х + 2y = 180, х + 2(2х) = 180, х + 4x = 180, 5х = 180, х = 36.

∠А = 36° • 2 = 72°, ∠А = ∠D = 72°. ∠А + ∠В = 180° (як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції).

∠В = 180° – 72° = 108°, ∠В = ∠С = 108°.

Відповідь: ∠А = ∠D = 72°, ∠В = ∠С = 108°.