Вправи: 263

263. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії трапеції.

Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, АС і ВD — діагоналі, АС ⊥ ВD, АС ∩ ВD = т. О, ВK — висота, MN — середня

лінія. Доведемо, що ВК = МN. Проведемо ВF ∥ АС і продовжимо АD до перетину з ВF. Чотирикутник ВСАF — паралелограм (ВС ∥ FА як основи трапеції, FВ ∥ АС за побудовою).

Отже, FВ = АС, FА = ВС, FD = FА + АD = ВС + АD.

∆РВО — прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох

паралельних прямих, то вона перпендикулярна і іншій). Оскільки в рівнобедреній трапеції діагоналі рівні, а ВF = АС, то ВF = ВD, тобто

∆FВD — рівнобедрений з основою FD. Висота ВK є медіаною, тоді

BK = 12FD = FA+AD2 = BC+AD2 = MN, отже, BK = MN.