Вправи: 261

261. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної

сторони, а менша основа дорівнює бічній стороні. Знайдіть кути трапеції.

Нехай ABCD — трапеція, ВС ∥ AD, АВ ∦ CD, АВ = ВС = CD, АС — діагональ, АС ⊥ CD. Знайдемо ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

∠ВСА = ∠CAD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній АС). ∠ВСА = ∠ВАС (∆ABC — рівнобедрений, АВ = ВС). ∠ВСА = ∠ВАС = ∠CAD = х, ∠А = ∠ВАС + ∠CAD, ∠А = x + x = 2х, ∠А = ∠D = 2х (кути при основі рівнобокої трапеції).

Розглянемо ∆ACD.

∠ACD = 90°, ∠CAD + ∠D = 90°, х + 2х = 90, Зх = 90, х = 30.

∠А = 2 • 30° = 60°, ∠А = ∠D = 60°.

∠А + ∠В = 180° (як кути прилеглі до бічної сторони трапеції).

∠В = 180° – 60° = 120°, ∠В = ∠С = 120°.

Відповідь: ∠А = ∠D = 60°, ∠В = ∠С = 120°.