Вправи: 264

264. Доведіть, що коли висота рівнобічної трапеції дорівнює її

середній лінїї, то діагоналі трапецїї перпендикулярні.

Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, ВL — висота, MN — середня лінія, ВL = МN. Доведемо, що АС ⊥ ВD.

За властивістю рівнобокої трапеції LD = МN. МN = ВL, тоді LD = ВL.

∆ВLD — рівнобедрений прямокутний, отже, ∠BDL = 45°.

∠CBD = ∠BDA = 45° (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній ВD). В рівнобедреній трапеції діагоналі рівні.

∆ВОС — рівнобедрений (ВО = ОС), ∠OBC = ∠ВСО = 45°,

∠BOC = 180° – 45° – 45° = 90°. Отже, АС ⊥ ВD.