Вправи: 268

268. Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів, прилеглих до

бічної сторони трапеції, належить прямій, яка містить її середню лінію.

Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD АВ ∦ СD, ВО і АО — бісектриси, т. О — точка перетину бісектрис, МN — середня лінія трапеції АВСD.

Доведемо, що т. О ∈ МN. За властивістю бісектрис трапеції, проведених з вершин кутів при бічних сторонах, перетинаються під кутом 90° (∠АОВ = 90°).

Проведемо з вершини ∠AОВ = 90° медіану ОМ. За власти вістю медіани, проведеної з вершини прямого кута до гіпотенузи.

ОМ = 12АВ = ВМ = МА. Так як ОМ = ВМ, то ∆ОМВ — рівнобедрений з основою ВО, тоді ∠ВОМ = ∠МВО. ∠МВО = ∠ОВС (ВО — бісектриса ∠В), тоді ∠МОВ = ∠ОВС. А так як ці кути є внутрішніми різносторонніми при ОМ і ВС та січній ВО, то ОМ ∥ ВС (за ознакою паралельності прямих).

Таким чином, пряма ОМ ∥ ВС (основа трапеції) і проходить через середину бічної сторони АВ. Отже, т. О лежить на середній лінії трапеції.