Вправи: 1090

1090. Доведіть, що коли для чисел х, у, z, m, n, p справджуються рівності xm + yn + zp = 1 і mx + ny + pz = 0, то для них справджується і рівність x2m2 + y2n2 + z2p2 = 1.

Піднесемо рівність xm + yn + zp = 1 до квадрата.

(xm + yn + xp)² = 1; x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • (xm • yn + xm •zp + yn • zp) = 1;

x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • xyp+xzn+myzmnp = 1 (*).

За умови mx + ny + pz = 0 маємо myz+nxz+xypxyp = 0;

myz + nxz + xyp = 0. Підставимо у рівність (*).

Маємо x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • 0 = 1; x2m2 + y2n2 + z2p2 = 1, що й треба було довести.