Вправи: 1089

1089. Доведіть, що коли x + у = 1, то xy3- 1 – yx3- 1 =2(y-x)x3y3+ 3.

Перетворюючи ліву частину, намагатимемося одержати суму х + у, замінивши її потім на 1.

xy3- 1 – yx3- 1 = x4- x- y4+ yy3-1(x3- 1) = x4- y4- (x-y)x3y3- x3+ y3+ 1 = x-yx+yx2+ y2- (x-y)x3y3- x+yx2-xy+ y2+ 1 = x-y(x2+ y2- 1)x3y3- (x+y)2- 3xy+ 1 = x-y((x+y)2- 2xy-1)x3y3- 1+3xy+1 = x-y • (-2xy)x3y3+ 3xy = 2xy(y-x)xy(x3y3+ 3) = 2(y-x)x3y3+ 3.