Вправи: 1088

1088. Доведіть, що значення виразу є від’ємним при будь–якому значенні a > 1.

11- a + 11+ a + 21+ a2 + 41+ a4 + 81+ a8 = 1+ a+1- a(1- a)(1+ a) + 21+ a2 + 41+ a4 + 81+a8 = 21-a2 + 21+ a2 + 41+a4 + 81+a8 = 2+2a2+2-2a21-a2(1+ a2) + 41+ a4 + 81+ a8 = 41- a4 + 41+ a4 + 81+ a8 = 4+4a4+ 4-4a41- a4(1+ a4) + 81+ a8 = 81- a8 + 81+ a8 = 8+8a8+ 8-8a81- a81+ a8 = 161- a16.

Якщо а > 1, то 1 – а¹⁶ < 0, тому 161- a16 < 0, що й треба було довести.