Вправи: 1091

1091. Доведіть, що коли a + 1b = b + 1c = с + 1а, то a²b²c² = 1 або

a = b = c.

За умови a + 1b = b + 1c маємо a – b = 1c – 1b; a – b = b-cbc. Аналогічно матимемо b – c = c-aac; c – a = a-bab.

Перемножимо почленно три утворені рівності.

Маємо (a – b)(b – c)(c – a) = b-cc-a(a-b)a2b2c2;

(a – b)(b – c)(c – a)(1 – 1a2b2c2) = 0;

І можливічть. Тоді з рівності a + 1b = b + 1c маємо b + 1b = b + 1c;

1b = 1c; b = c. Отже, a = b = c.

Аналогічно розглядаємо b = c i mc = a.

ІІ можливість. 1 – 1a2b2c2 = 0; a²b²c² = 1. Отже, a = b = c або

a²b²c² = 1, що й треба було довести.