Вправи: 502

502. На бісектрисі кута K позначено точку М, на сторонах цього

кута — точки А і В такі, що ∠KMA =∠KMB. Доведи, що: а) АK = ВK; б) ∠KAC = ∠KBC, де С — довільна точка відрізка KМ.

Дано: КМ – бісектриса ∠К; ∠КМА = ∠КМВ.Довести, що:

а) АК = ВК.

Доведення

В ∆АКМ і ∆ВКМ:

1) КМ – спільна сторона;

2) ∠КМА = ∠КМВ – за умовою;

3) ∠АКМ = ∠ВКМ – за умовою.

Отже, ∆АКМ = ∆ВКМ за другою ознакою рівності трикутників. Тоді АК = BK як відповідні сторони рівних трикутників.

б) ∠КАС = ∠КВС, С ∈ КМ.

Доведення

В ∆АКС і ∆ВКС:

1) АС – спільна сторона;

2) ∠АКС = ∠ВКС – за умовою;

3) АК = ВК – за доведеним.

Отже, ∆АКС = ∆ВКС за першою ознакою рівності трикутників. Тоді ∠КАС = ∠КBC як відповідні кути рівних трикутників.