Вправи: 1107

1107. Висота й медіана, проведені з вершини трикутника, ділять його кут на три рівні частини. Знайди кути цього трикутника.

Дано: ∆АВС; СН – висота; СМ – медіана; ∠АСМ = ∠МСН = ∠НСВ. Знайти: ∠А; ∠В; ∠С.

Розв’язання

Продовжимо пряму СМ так, щоб СМ = МК, тоді т. К належить описаному колу. Звідси ∠СКВ = ∠САВ і ∠СВК = ∠СНА = 90°.

СК – діаметр описаного кола, а оскільки АМ = МВ, то й АВ – діаметр.

Отже, ∠С = 90°, тоді

∠АСМ = МСН = ∠МСВ = 13 • 90° = 30°.

∆СНВ (∠Н = 90°): ∠В = 90° – ∠НСВ = 90° – 30° = 60°.

∆АВС (∠С = 90°):

∠А = 90° – ∠В = 90° – 60° = 30°.

Відповідь: 90°; 30°; 60°.